» Του Σπύρου Ζερβουδάκη
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η µαθηµατική εκτυπωτική παραγωγή ενός τόπου, όπως και κάθε παραγωγή, είναι συνάρτηση των ιστορικών, επιστηµονικών και κοινωνικών συνθηκών. Το βιβλίο που παρουσιάζουµε µε τίτλο «ΑΝΑΛΥΣΗ» και υπότιτλο «ΑΣΚΗΣΕΙΣ», του Σπύρου Ζερβουδάκη, εκδόσεις Πυξίδα, Σεπτέµβριος 2025, ανήκει στην κατηγορία του διδακτικού µαθηµατικού βιβλίου. Το είδος αυτό εµφανίστηκε την Ελληνιστική και Αυτοκρατορική Εποχή µε τα λεγόµενα «Εγχειρίδια». Ήταν βιβλία πρακτικών εφαρµογών και ελάχιστης θεωρίας χωρίς να ενδιαφέρονται για λογοτεχνικές αξιώσεις. Στα αγγλικά είναι τα textbooks. Στις µέρες µας η κατηγορία αυτή µε τη βοήθεια και της τεχνολογίας εκτύπωσης βρίσκεται σε άνθηση. Επειδή το αντικείµενο του βιβλίου είναι επίκαιρο και σηµαντικό θα κάνουµε µία µικρή ιστορική αναφορά.
ΤΟ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΚΑΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Η Ανάλυση, η οποία σήµερα διδάσκεται στο Λύκειο, είναι απόρροια του πνευµατικού κινήµατος του Μοντερνισµού. Ο Μοντερνισµός ήταν πνευµατικό κίνηµα λίγο πριν τον Μεσοπόλεµο που εκδηλώθηκε στην τέχνη, την επιστήµη και γενικότερα την κοινωνία. Από µορφωτική άποψη η περίοδος του Μεσοπολέµου στάθηκε γόνιµη. Στα Μαθηµατικά εµφανίστηκε στη Γαλλία το 1933 το κίνηµα των Bourbaki (33 τόµοι) που άλλαξε τη µορφή και το περιεχόµενο των θεµάτων διδασκαλίας. Επιστέγασµα του κινήµατος ήταν το εµβληµατικό βιβλίο του Jean Diendonne, Foundation of Modern Analysis (1960). Αντανάκλαση στην Ελλάδα ήταν το 1965 τα λεγόµενα Μοντέρνα Μαθηµατικά. Και επειδή η ∆ευτεροβάθµια Εκπαίδευση τροφοδοτείται κατά καιρούς από µυθοπλασίες, τότε κυριαρχούσε η περιπέτεια του διαστήµατος.
Πριν την έλευση στην εκπαίδευση του Μοντερνισµού στην Ελλάδα, δηλαδή πριν το 1965, στις εισαγωγικές εξετάσεις γινόταν το φθινόπωρο, ανεξάρτητα, σε κάθε τµήµα σχολής στο χώρο του, µε δική του πολιτική και δικές του ασκήσεις στην Άλγεβρα, Τριγωνοµετρία και Γεωµετρία. ∆εν τηρούνταν τα αναλυτικά προγράµµατα ούτε υπήρχαν συγκεκριµένα σχολικά βιβλία. Η δοµή και οι εξετάσεις άλλαξαν ως αναγκαιότητα εκσυγχρονισµού µε τη µεταρρύθµιση Παπανούτσου. Μετά από περιπέτειες και παλινδροµήσεις από τα Μοντέρνα Μαθηµατικά έµειναν λίγα στοιχεία, αλλά καθιερώθηκε η Ανάλυση.
∆ιαχρονικά πριν το 1965, οι συναρτήσεις υπήρχαν ενσωµατωµένες στα βιβλία της Άλγεβρας αλλά σχεδόν ποτέ δεν διδασκόταν. Στις εισαγωγικές εξετάσεις σπάνια υπήρχαν ερωτήµατα συναρτήσεων, όπως το 1962. Ωστόσο υπήρχαν περιπτώσεις όπου απαγορευόταν στη λύση ασκήσεων η χρήση Ανάλυσης (παραγώγων 1963). Το 1971 µε µία ερώτηση γραφικής παράστασης στις εισαγωγικές εξετάσεις στην Άλγεβρα, άρχιζε άτυπα η καθιέρωση των συναρτήσεων στο εξατάξιο Γυµνάσιο. Η ερώτηση στην άσκηση ήταν:
ΚΥΚΛΟΙ ∆ και Ε (Φυσικοµαθηµατικός — Γεωπονοδασολογικός ) µάθηµα Άλγεβρα.
Άσκηση: 1ον) Η συνάρτηση f: R –.> R όπου R το σύνολο των πραγµατικών αριθµών, ορίζεται διά κάθε πραγµατικό x υπό του τύπου f(x) = |x+1||x-2|. Ζητείται ως προς καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων η γραφική παράσταση της συναρτήσεως. (ακολουθούσαν στην ίδια άσκηση 2 ακόµη ερωτήσεις Άλγεβρας). Έκτοτε οι συναρτήσεις παραµένουν βασικό και αναντικατάστατο αντικείµενο στο Λύκειο. Βασικός λόγος είναι ότι οι συναρτήσεις λειτουργούν εντός των Μαθηµατικών λόγω των ιδιοτήτων, αλλά και ως µοντέλα απόδοσης νοηµάτων στη µεταβολή των φαινοµένων. Έτσι συµβάλουν στη γνωστική διαδικασία µε τη θεωρία και στις εφαρµογές. Η Ανάλυση είναι η Βίβλος των µεταβολών (Κ. Καραθεοδωρής).
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Επανερχόµαστε στο βιβλίο του Σ. Ζερβουδάκη, ο οποίος είναι πολύ δηµιουργικός και διακεκριµένος µαθηµατικός στη ∆ηµόσια Εκπαίδευση. Το υλικό έχει «δουλευτεί» και «σφυρηλατηθεί» σε σύγχρονες τάξεις σε διάστηµα 10 χρόνων. ∆εν είναι µόνο θεωρητική κατασκευή. Χωρίς να παραβλέπουµε το γεγονός ότι η Ανάλυση έχει «γκρίζα σηµεία» που χρειάζονται προσοχή και θεωρητικές επεκτάσεις.
Στα τεχνικά χαρακτηριστικά του βιβλίου αναφέρουµε: Ένα σύνολο 581 σελίδων δοµείται σε 4 κεφάλαια, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώµατα, Λύσεις Ασκήσεων. Τα 3 πρώτα είναι τα εµβληµατικά πεδία της Ανάλυσης. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει και την Άλγεβρα των συναρτήσεων (πράξεις, µονοτονία, σύνθεση, αντίστροφη, …). Το όριο αποτελεί τον «γωνιαίο λίθο» της Ανάλυσης και είναι η πλέον δύσκολη έννοια να εξηγηθεί στους µαθητές. Εµπλέκει τους όρους «απειροστό» και «άπειρο» οι οποίοι δεν ανήκουν στο σύνολο R και δεν είναι µονοσήµαντοι. Έτσι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να δώσουµε νόηµα στον ορισµό (Cαuchy, Heine, Weirstrass,..). Παραµένει πάντα το ερώτηµα: πως οι µαθητές προσλαµβάνουν τη διπλή διαδικασία του ορίου; Τη µία στην οποία η ανεξάρτητη µεταβλητή x προσεγγίζει γνωστή τιµή και την άλλη η εξαρτηµένη µεταβλητή προσεγγίζει µία άγνωστη τιµή της f(x). Οι έρευνες έχουν δείξει τη δυσκολία των µαθητών να συλλάβουν το όριο ως διαδικασία και ως έννοια (αριθµό) (Tall, Vinner). Ο Σ. Ζερβουδάκης ακολουθεί την τάξη του σχολικού βιβλίου, δηλαδή τον (ε, δ) ορισµό όπως τελικά διατυπώθηκε από τον K. Weierstrass. Οι µαθητές περισσότερο εστιάζουν την κατανόηση σε φράσεις κλειδιά παρά σε λογικές συνδέσεις, όπως «πολύ κοντά», «αρκούντως κοντά», «προσεγγίζουν όσο θέλουµε», και αποκτούν «διαισθητική» προσέγγιση του ορίου, λόγω φυσικής εµπειρίας. Τα υπόλοιπα της εύρεσης του ορίου για τους µαθητές είναι Άλγεβρα, όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο του Σ. Ζερβουδάκη.
Με βάση τα όρια αναπτύσσονται οι παράγωγοι και τα ολοκληρώµατα. Σε όλα τα βιβλία µετά τα όρια ακολουθούν οι παράγωγοι. Έχουν ευκολότερες τεχνικές υπολογισµού, διότι η παράγωγος είναι «τοπική» πράξη. Έτσι χωρίς βλάβη, ανατρέπεται η ιστορικότητα των µεταβολών. Το ολοκλήρωµα είναι δυσκολότερο, διότι είναι «ολική» πράξη και δεν υπάρχει ένα καθολικό σύστηµα για αυτό (Riemann, Stieltjes, Lebesque, Darboux…). ∆εν είναι καθολικά αποδεκτό το κατά Lebesque ως τελική απάντηση (A. Shenitzer). Όµως αυτές οι επεκτάσεις είναι πολύ πέρα από το βιβλίο, που παραµένει στο κλασικό ολοκλήρωµα Riemann. Ο συγγραφέας αποφεύγει το αόριστο ολοκλήρωµα, χρησιµοποιεί την παράγουσα ή αρχική F(x), της f(x).
Τα κεφάλαια χωρίζονται σε ενότητες που ακολουθούν την τάξη του σχολικού βιβλίου. Κάθε κεφάλαιο και οι ενότητες, αρχίζουν µε τα «Μικρά Ιστορικά» που περιέχουν έγκυρες ιστορικές αναφορές οι οποίες αναφέρονται στην ανάπτυξη των εννοιών του κεφαλαίου ή ενότητας. Επιπλέον στην αρχή κάθε κεφαλαίου υπάρχουν οι «Μικρές παρατηρήσεις» οι οποίες είναι συνεπτυγµένες αναφορές στην αντίστοιχη θεωρία. Μπορούµε να τις θεωρήσουµε ως τη θεωρία του βιβλίου. Ανάλογες παρεµβολές βρίσκουµε διάσπαρτες µέσα σε κάθε ενότητα. Αποτελούν ένα είδος µεθοδολογίας µε µορφή «ορισµού». Όπως στη σελίδα 142:
«Για την παράγωγο µίας κλαδικής συνάρτησης: βρίσκουµε την παράγωγο σε κάθε κλάδο και στα σηµεία αλλαγής δουλεύουµε µε τον ορισµό».
Άλλες είναι «τεχνικές απόδειξης» όπως: «Πως αποδεικνύονται ανισότητες µε ολοκληρώµατα» σελίδα 347. Οι αναφορές στηρίζονται στον «αυτοµατισµό» του αντικειµένου και δίνουν πληροφορίες αποµνηµόνευσης για τη λύση των ασκήσεων από τους µαθητές, διότι τα Μαθηµατικά απαιτούν µνήµη και κρίση.
Ένα µεγάλο σύνολο από την κουλτούρα της µαθηµατικής εξάσκησης περιέχεται µε µορφή ασκήσεων και προβληµάτων στο βιβλίο. Οι ποικιλία των ασκήσεων και των προβληµάτων αποτελεί µία «κοιλάδα µε ροδώνες». Όλες οι µορφές επωνύµων και ανωνύµων συναρτήσεων υπάρχουν στο βιβλίο και είναι περισσότερες από 1100. Η ταξινόµηση είναι η παρακάτω:
Επιλεγµένα Λυµένα παραδείγµατα
Ασκήσεις Σωστό- Λάθος
Ασκήσεις Σωστό- Λάθος µε αιτιολόγηση
Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής
Ασκήσεις. – ενοτήτων
Ασκήσεις επανάληψης – Θέµατα εξετάσεων διαφόρων χωρών
Θέµατα Πανελλαδικών και τράπεζας θεµάτων
Κάθε κεφάλαιο κλείνει µε «Υπερωρίες» και «Εργασίες», που έχουν ερευνητική διάσταση και µπορούν να επεκταθούν από τους εκπαιδευτικούς. Τέλος το «Ευχάριστο διάλειµµα», παραπέµπει στην παλαιά καλή πρακτική αριθµητική. Όλα ανήκουν στις πρωτοτυπίες του βιβλίου. Το πλαίσιο ασκήσεων και προβληµάτων εξάσκησης δίνει µία καλή εικόνα πως λειτουργούν τα Μαθηµατικά και πως οι µαθητές µπορούν να αποκτήσουν θετική στάση και να ενθουσιαστούν µε αυτά.
Ο συγγραφέας είναι γνωστός και για τις αισθητικές του ευαισθησίες στην τέχνη, όπως και ο υπεύθυνος της εκτύπωσης είναι διακεκριµένος µαθηµατικός µε καλλιτεχνική δράση και γνώστης της εκτυπωτικής τέχνης. Έτσι το βιβλίο «ευτύχισε» και είναι καλαίσθητο. Υπάρχει επιµέλεια στο εξώφυλλο, στη γραφή των αλγεβρικών τύπων όπως και των γραφικών παραστάσεων. Παράδειγµα οι πολύπλοκες αλγεβρικές παραστάσεις στην απόδειξη στην παρακάτω άσκησης 8 της σελίδας 262:
Να βρείτε τις ασύµπτωτες της συνάρτησης f(x)=(x+1/x)^x. xε (-00, -1)U(0, +00)
Πρόκειται για την εύρεση κατακόρυφης (x = -1) και οριζόντιας ασύµπτωτης (y = e). Η αναγραφή της λύσης προϋποθέτει από τον συγγραφέα τη συνύπαρξη της µαθηµατικής απόδειξης και της ψηφιακής ικανότητας γραφής των συµβόλων.
ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΕΣ
∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Το βιβλίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως βοήθηµα, από τους εκπαιδευτικούς, τους µαθητές και κάθε ενδιαφερόµενο που θέλει να εµπλουτίσει τις γνώσεις του στις συναρτήσεις. Το βιβλίο δεν είναι «λυσάρι». Οι ασκήσεις είναι πολύµορφε διαφόρων επιπέδων δυσκολίας. Μπορούν να δοθούν κατά τη διδασκαλία όπως είναι ή να τροποποιηθούν ανάλογα µε την τάξη και τον επιτρεπόµενο χρόνο διδασκαλίας. Ο συγγραφέας δεσµευµένος χρόνια µε τη διδασκαλία χρησιµοποιεί µία βασική αρχή κατανόησης των συναρτήσεων. Στις περισσότερες ασκήσεις αναγράφεται αλγεβρικά ο τύπος της συνάρτησης, πάνω στον οποίο αναπτύσσονται προς απόδειξη οι διάφορες ιδιότητες και σχέσεις. Ασκήσεις που αναφέρονται χωρίς τύπο, µόνο µε ιδιότητες και σχέσεις, είναι σε µικρότερο αριθµό. Οι έρευνες έδειξαν την αναγκαιότητα των τύπων. Η Ανάλυση εφαρµόζεται σε µεταβολές στη φύση, παραµένει ασαφές αν υπάρχει οντολογική διαφορά µεταξύ των αντικειµένων και των ιδιοτήτων τους (M. Walicki)
Σε ορισµένες ενότητες περιέχονται προβλήµατα µε γεωµετρική δοµή. Όπως στον ρυθµό µεταβολής, τα ακρότατα,…. Παραπέµπουν στα βιβλία τύπου Calculus και συνδέουν την Ανάλυση µε τη Γεωµετρία και τη Φυσική. Υπενθυµίζουν να επιµένουµε στη διδασκαλία Γεωµετρίας διότι συνδέεται µε όλους τους κλάδους των Μαθηµατικών. Τα προβλήµατα όταν δεν γίνεται κατάχρηση και κρατούνται σε ένα παιδαγωγικό επίπεδο, όπως είναι στο βιβλίο που σχολιάζουµε, βοηθούν στην εισαγωγή στη λογική των µεταβολών και παράλληλα είναι ελκυστικά και οπτικοποιούν τις έννοιες . Μπορούµε να επεκτείνουµε µε προσιτά ερωτήµατα κάποια, όπως το πρόβληµα 39 σελίδα 237. Αναφέρεται στην εύρεση του µεγίστου εµβαδού ορθογωνίου και ισοσκελούς τρίγωνου µε βάση πλευρά του ορθογωνίου, εγγεγραµµένων σε κύκλο R = 1. Μετά από πράξεις βρίσκεται ο τύπος του εµβαδού E(x) = 1/4(4-x^2)^1/2 (3x+2). Μπορεί να προστεθεί: Να βρεθεί η κλίση και η γωνία της εφαπτοµένης στο σηµείο µε x = 1 της Cf. του εµβαδού.
Η πρώτη µελέτη ακρότατου υπάρχει στην Αινειάδα του Βιργίλιου (1ος π. Χ.αι.) στο ισοπεριµετρικό πρόβληµα (∆. Καλυκάκης), αργότερα ο Ήρωνας (1ος µ. Χ. αι.) µελέτησε µε ακρότατο την ανάκλαση του φωτός σε επίπεδη επιφάνεια.
Να σηµειώσουµε ότι µε την εφαπτοµένη µίας καµπύλης, δεν εννοούµε µόνο σε ένα συγκεκριµένο σηµείο αλλά σε αυθαίρετο σηµείο x. ∆ιότι υπάρχουν τρία βασικά θέµατα στην Ανάλυση. Η µελέτη και σχεδίαση της µεταβαλλόµενης κλίσης συνάρτησης, η εύρεση της συνάρτησης από την κλίση της και ο υπολογισµός του εµβαδού κάτω από την γ. π. της συνάρτησης. Τα θέµατα ως ασκήσεις υπάρχουν στο βιβλίο του Σ. Ζερβουδάκη. Όπως η (µικροδιαφορική) άσκηση 5 σελίδα 290 (Κύπρος 2023).
Σηµαντική κατηγορία ασκήσεων σε όλες τις ενότητες είναι οι συναρτήσεις µε παράµετρο στον τύπο (όχι παραµετρικές εξισώσεις). Η παράµετρος είναι µία ιδιότητα του ορισµού της συνάρτησης. Η παρουσία της στον τύπο της συνάρτησης επεκτείνει και εµπλουτίζει το πεδίο έρευνας των µεταβολών. Όπως η άσκηση 20 σελίδα 378.
Πολλές ασκήσεις απαιτούν γραφικές παραστάσεις. Η πρώτη γραφική παράσταση συνάρτησης (όχι καµπύλης) είναι του 11ου αιώνα και αφορά στον x΄ x το γεωγραφικό µήκος και στον y΄ y το γεωγραφικό πλάτος, µε διαδικασία απεικόνισης των ζευγών (x, y) τη θέση πλανητών (Sierpinska). Πολλούς αιώνες πριν τη διατύπωση του ορισµού της συνάρτησης από τον B. Riemann. Για την κατανόηση ενός αντικειµένου βοηθά η σχεδίαση της εικόνας του, διότι αναδύει πνευµατικές αντιδράσεις. Έτσι η γραφική παράσταση δίνη την ευκαιρία να αντιληφθούν οι µαθητές µία συνάρτηση και ως ποιοτική µεταβολή, όχι µόνο ποσοτική. Να µην θεωρείται η Cf απλά ως γεωµετρικό αντικείµενο.
Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ασκήσεις του βιβλίου στα ορισµένα ολοκληρώµατα, όπου κυριαρχεί το Θ.Θ.Ο.Λ. Είναι αναγκαία η κατανόηση της σύνδεσης µεταξύ του αθροίσµατος Riemann, εµβαδού χωρίου, τιµές παράγουσας και ολοκληρώµατος. Συνήθως υπάρχει σύγχυση µεταξύ αυτών των εννοιών, ίσως ο λόγος να είναι η δυσκολία κατανόησης της έννοιας του ορίου. Η ικανότητα διάκρισης είναι σηµαντική στη λύση των ασκήσεων. Ο συγγραφέας παραθέτει ασκήσεις µε αναγκαία τη διάκριση των εννοιών όπως η πολυεπίπεδη άσκηση 13 σελ. 398. Όπως είναι αναγκαία στις ασκήσεις τετάρτου θέµατος που περιέχουν ολοκληρώµατα. Όταν δεν υπάρχουν υπερβολές στις εισαγωγικές εξετάσεις (συνήθως υπάρχουν και τα αποτελέσµατα για το θέµα είναι …) δίνουν µία εικόνα των διεργασιών και των εννοιών που κατέχουν οι µαθητές. Γενικά είναι ασκήσεις απαιτητικές λόγω µετάβασης σε πολλά εννοιολογικά επίπεδα.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
Ο συγγραφέας έγραψε ένα επιµεληµένο πολυεπίπεδο βιβλίο, µε πυρήνα τις ασκήσεις και τα προβλήµατα, τη σηµερινή εποχή των αλλαγών. Με βάση το Νέο Πρόγραµµα Σπουδών αλλά µε οδηγό το πολύ καλό υπάρχον σχολικό βιβλίο. Βέβαια δεν γνωρίζουµε το επόµενο σχολικό βιβλίο τη µορφή θα έχει. Η παραδοσιακή αντίληψη για την Ανάλυση αντιστοιχεί σε ένα ρεαλιστικό κόσµο, µίας υπαρκτής και συγκεκριµένης µαθηµατικής πραγµατικότητας, που απεικονίζεται στο υπάρχον σχολικό βιβλίο και σ΄ αυτό του Σ. Ζερβουδάκη. Πιστεύουµε ότι και το επόµενο σχολικό βιβλίο, µε την επικρατούσα τάση ανοικτών προβληµάτων, δεν θα παράγει ένα κόσµο από κουµπιά, οθόνες, προγράµµατα, αποδείξεις µε chatGPT. ∆εν θα εµφανίζει νέα µυστήρια, χωρίς να ρίχνει φως στα παλιά. Σε κάθε περίπτωση το βιβλίο του Σ. Ζερβουδάκη, είναι πολύ χρήσιµο βοήθηµα στους µαθηµατικούς τους φοιτητές, τους µαθητές και σε κάθε σχολείο που θέλει να εµπλουτίσει και να βελτιώσει τη µαθηµατική διδασκαλία.
ΚΑΛΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ
